Appunti Meccanica dei biomateriali – Skuola.net

MODELLO DI MAXWELL

In questo modello i 2 elementi sono in serie.

La velocità di deformazione totale è la somma delle velocità dei

due elementi :

d γ d γ

dγ 1 2

= +

dt dt dt

 Per l’elemento elastico si avrà: d γ 1 dσ

1

=Gγ =

σ → dt G dt

 Per l’elemento viscoso si avrà invece:

d γ

dγ σ

2

=η =

σ →

dt dt η

Risolvo il modello per Creep e Stress Relaxation:

¿

δ δ

Nel caso di Creep lo sforzo è costante ( ) perciò lo sforzo

0

complessivo si riduce alla sola componente viscosa ovvero:

σ

dγ 0

=

dt η

Significa che il modello di Maxwell non è adatto quando si applica a materiali

viscoelastici nelle condizioni di Creep in quanto mi da’ solo la risposta viscosa del

materiale.

Nel caso di Stress Relaxation è costante la deformazione perciò la sua derivata rispetto

al tempo vale zero (velocità di deformazione nulla). La situazione è la seguente:

1 dσ σ

+ =0

G dt η

−σ

dσ =

→ G

dt η

Si separano≤variabili :

−G

dσ = dt

σ η

Si integra :

σ t −G

dσ

∫ ∫

= dt

σ η

σ 0

0 ‘

La soluzione dell equazione è :

−t

−G t τ

( )=σ ( )=σ

η

σ t e → σ t e M

0 0

 τ è il tempo di rilassamento per il modello di Maxwell.

M

 ( )=σ

σ t

Per t=0 nell’equazione lo sforzo massimo è uguale a quello iniziale: .

0

 All’aumentare del tempo lo sforzo decade esponenzialmente.

Il modello di Maxwell è adatto dunque per materiali nelle condizioni di Stress

Relaxation.

Entrambi i modelli mi danno cioè metà della risposta al problema (MODELLI

INCOMPLETI).

Il primo MODELLO COMPLETO è il MODELLO DI ZENER che consiste di un

accoppiamento in serie e parallelo di 3 elementi; si risolve poi un sistema differenziale

e si ottiene un modello che descrive sia l’esperimento di Creep che di Stress

Relaxation.

ESPERIMENTI MODULATI IN FREQUENZA

Negli esperimenti DINAMICO MECCANICI viene invece applicata al materiale una

DEFORMAZIONE o uno SFORZO SINUSOIDALE e si osserva la risposta in fase e fuori

fase ovvero quella viscosa ed elastica.

A seconda della frequenza e della temperatura è possibile determinare quale delle due

risposte (viscosa / elastica) avrà il materiale.

La deformazione e lo sforzo saranno perciò:

¿

γ γ senωt

 0

¿

σ σ senωt

 0

Applicando la deformazione sinusoidale, si controlla come varia lo sforzo in funzione

del tempo o della frequenza; al contrario, applicando sforzo sinusoidale si controlla la

variazione della deformazione.

Esistono perciò macchinari che registrano lo sforzo e macchinari che registrano la

deformazione.

Quelli che controllano lo sforzo costano meno; al 95% i 2 macchinari danno entrambi

risultati buoni.

Analizziamo i macchinari che controllano la deformazione e dunque a cui si applica

uno sforzo sinusoidale; analizziamo i casi limite ovvero per un materiale elastico e uno

viscoso: =G

σ γ

Per un materiale perfettamente elastico, lo sforzo è dato da che

 0 0

=G

σ γ senωt

sostituisco alla formula sinusoidale: ; si nota subito che lo sforzo

0

è in fase con la deformazione.

Per un materiale perfettamente viscoso invece, lo sforzo è dato da

 dγ ;

=η

=η σ γ ωcosωt

σ da cui si ha di conseguenza : perciò sforzo e

0 0

0 dt

deformazione sono sfalsati si 90° e dunque non sono in fase.

π

=η )

σ γ ωcosωt → η γ ωsen(ωt+

0 0 0 2

 Per un materiale viscoelastico

invece applicando una deformazione

sinusoidale, lo sforzo è sfalsato di un

certo angolo che per i materiali

elastici vale zero e dunque sono in

fase, per i materiali viscosi vale 90°

mentre per i materiali viscoelastici è

compreso tra:

π

<

0<δ (delta è l’angolo di

2

safasamento).

Possiamo allora scrivere lo sforzo

come :

=σ (ωt +δ)

σ sen

0

Se delta è prossimo a zero, prevale la risposta elastica del materiale; se è prossimo a

90° prevale quella viscosa.

Possiamo riscrivere la formula dello sforzo nel seguente modo:

( )

=σ

σ sen ωt+δ →

0 [ ]

=σ

σ cosδsenωt+ senδcosωt

0

Ricordiamo che :  =G (Caso

σ γ senωt elastico)

0 0

 ( )

=η

σ γ ωcosωt Caso viscoso

0 0 sostituendo :

[ ]

‘ ‘ ‘

=γ +G

σ G senωt cosωt

0  ‘ =G(Della

G componente elastica) ; ;

 ‘ ‘ =ηω(

G Della componente viscosa)

Perciò in un materiale viscoelastico la risposta dello sforzo è caratterizzata da una

parte in fase descritta da G’ che corrisponde al Modulo elastico (risposta conservativa)

e da una parte non in fase che viaggia sfalsata e descrive la risposta viscosa con G’’

ovvero il Modulo di perdita detto anche LOSS MODULUS (risposta dissipativa)

Egualiando membro a membro si ottiene:

‘

σ cosδ=γ G

0 0 ‘

da cui ricaviamo G :

σ

‘ 0

=

G cosδ

γ 0 ”

mentre per G :

”

σ senδ=γ G

0 0

cioè :

σ

” 0

=

G senδ

γ 0

Perciò se delta vale zero, G’’= 0 e dunque ho solo risposta elastica; se delta vale 90°

allora G’= 0 e ho solo risposta viscosa.

Per i materiali viscoelastici si introducono i numeri complessi; introduciamo il

complesso coniugato della deformazione e dello sforzo:

¿ iωt

 =γ

γ e

0

¿ +δ)

i(ωt

 =σ

σ e

0

Perciò il complesso coniugato di G sarà: σ

¿

σ

¿ +δ)

i(ωt iωt ¿ 0 iδ

 

= =σ / =

G e γ e G e

¿ 0 0 γ

γ 0

 iδ =cosδ +isenδ

e σ

¿ ¿

0 ‘

 ( )

= +isenδ =G +iG

G cosδ → G ‘ ‘

γ 0

I materiali viscoelastici contengono dunque intrinsecamente una risposta reale che

corrisponde a quella elastica e una risposta immaginaria della perdita viscosa.

Definiamo ora il parametro di cedevolezza J come l’inverso del modulo G:

1 1

 =

G= → J

J G

per cui: iωt γ

¿ γ e

γ

¿ 0 ¿ −iδ

0

 

= = =

J J e

¿ i(ωt+ δ) σ

σ σ e 0

0

γ

¿ 0

 

= ( ) ¿

J cosδ−isenδ ‘

=J −iJ

J ‘ ‘

σ 0

γ

‘ 0

 =

J cosδ

σ 0

γ

‘ ‘ 0

 =

J senδ

σ 0

Dunque nell’analisi dinamico meccanica G e J dipendono dalla frequenza e non dal

tempo come invece avviene negli esperimenti tempo dipendenti.

Comportamento di G e J negli esperimenti TEMPO DIPENDENTI

Consideriamo un esperimento di Creep; applicando un carico ad un campione

polimerico.

I fenomeni di Creep interessano materiali di tipo strutturale che devono dunque

sostenere un certo carico meccanico nel tempo.

Il provino si trova al di sotto di Tg in modo da avere un modulo alto / consistente.

Applicando il carico avviene una deformazione

istantanea in cui il modulo segue un preciso

percorso nel tempo:

All’inizio si ha un modulo Gu (unrelaxed) alto e

dunque una risposta elastica del materiale; in

questa fase il materiale non ha ancora iniziato a

rilassare il carico applicato.

Col tempo il materiale si deforma (allunga) e il

modulo scende fino a Gr (relaxed) che è il valore

minimo che raggiunge e corrisponde al fatto che

le catene; dono essersi distese a causa del carico, hanno poi controbilanciato la

deformazione rilassandola per tornare alla condizione di disordine massimo ovvero di

gomitolo statistico.

La tendenza delle catene al massimo disordine bilancia perfettamente il carico e

dunque il modulo non scende sotto a Gr che resta perciò costante.

Se si toglie il carico, il campione recupera totalmente la deformazione.

Perciò i materiali polimerici sotto esperimento di Creep ( o anche Stress Relaxation) si

deformano e col tempo recuperano la deformazione; una volta tolto il carico ritornano

alle condizioni iniziali.

Si tratta di una caratteristica unica dei

materiali polimerici; nel caso dei metalli ad

esempio viene recuperata solo la

deformazione elastica.

In termini di cedevolezza il grafico sopra

riportato si inverte.

SINGLE TIME RELAXATION MODEL (Modello di

Rilassamento a Tempo Singolo)

Al t=0 ho il gomitolo statistico; applico un carico e secondo questo modello, vale la

seguente formula:

( )

( ) −J

J t σ= λP

u

 J(t) è la parte di cedevolezza tempo dipendente;

 Ju è il valore di cedevolezza per il materiale non rilassato;

 λ è una costante;

 P è il parametro interno del materiale; indica di quanto le catene sono lontane

rispetto alla loro configurazione all’equilibrio. Significa che se t=0 allora P=0

perché non ho ancora applicato alcun carico (mi trovo già all’equilibrio);

applicandolo, le catene si deformano e successivamente rilassano fino a

controbilanciare il carico; una volta controbilanciato, le catene si trovano in un

nuovo punto di equilibrio diverso da quello in assenza di carico. Dunque P di

equilibrio dipende dall’entità del carico; il carico mi fa diminuire l’entropia fino

ad un certo punto in cui viene controbilanciata la deformazione:

Ṕ=Kσ

 In cui K è una costante.

Il raggiungimento dell’equilibrio, dipende dal tempo. La velocità di raggiungimento

dell’equilibrio è data da :

( )

− P− Ṕ dP

=

Ṕ= τ